5.5.固有方程式と固有ベクトル79 Xu=u⇔⎛⎜⎜⎜⎜⎝abcd⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝u1u2⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝u1u2⎞⎟⎟⎟⎟⎠⇔⎛⎜⎜⎜⎜⎝au1+bu2−u1cu1+du2−u2⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝00⎞⎟⎟⎟⎟⎠． ⇔⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩(a−1)u1+bu2=0,cu1+(d−1)u2=0.これが任意のu1，u2で成り立つことからi) u1=0，u2=1としてb=0，d=1．ii) u1=1，u2=0としてc=0，a=1． よってX=⎛⎜⎜⎜⎜⎝1001⎞⎟⎟⎟⎟⎠．(2) k1，k2を任意の実数として，A=⎛⎜⎜⎜⎜⎝k100k2⎞⎟⎟⎟⎟⎠，X=⎛⎜⎜⎜⎜⎝x1x2x3x4⎞⎟⎟⎟⎟⎠とすれば AX=⎛⎜⎜⎜⎜⎝k100k2⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝x1x2x3x4⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝k1x1k1x2k2x3k2x4⎞⎟⎟⎟⎟⎠． XA=⎛⎜⎜⎜⎜⎝k1x1k2x2k1x3k2x4⎞⎟⎟⎟⎟⎠． AX=XAより，k1x2=k2x2，k2x3=k1x3．これらが任意のk1，k2で成立するのでx2=x3=0． 今度はA=⎛⎜⎜⎜⎜⎝0k10k2⎞⎟⎟⎟⎟⎠とすると，XA=⎛⎜⎜⎜⎜⎝x100x4⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝0k10k2⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝0k2x10k2x4⎞⎟⎟⎟⎟⎠． AX=⎛⎜⎜⎜⎜⎝0k10k2⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝x100x4⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝0k1x40k2x4⎞⎟⎟⎟⎟⎠． AX=XAよりk1x4=k1x1．∴x1=x4．3． 行列⎛⎜⎜⎜⎜⎝abcd⎞⎟⎟⎟⎟⎠に，それぞれどのような行列を左からかければ，つぎの行列が得られるか．(1)⎛⎜⎜⎜⎜⎝kakbcd⎞⎟⎟⎟⎟⎠. (2)⎛⎜⎜⎜⎜⎝abkckd⎞⎟⎟⎟⎟⎠. (3)⎛⎜⎜⎜⎜⎝aba+cb+d⎞⎟⎟⎟⎟⎠.
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