78第5章固有値と固有ベクトル =⎛⎜⎜⎜⎜⎝cos2θsin2θsin2θ−cos2θ⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝xy⎞⎟⎟⎟⎟⎠． よって求める行列は⎛⎜⎜⎜⎜⎝cos2θsin2θsin2θ−cos2θ⎞⎟⎟⎟⎟⎠．練習問題B1． 2×2型の行列A=⎛⎜⎜⎜⎜⎝abcd⎞⎟⎟⎟⎟⎠に対して，s=a+d，t=ad−bcとおけば，Iを2次の単位行列として，つぎの等式が成り立つことを証明せよ．A2−sA+tI=O.[解答例] A2=⎛⎜⎜⎜⎜⎝abcd⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝abcd⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝a2+bcab+bdac+cdcd+d2⎞⎟⎟⎟⎟⎠． よって A2−sA+tI=⎛⎜⎜⎜⎜⎝a2+bcab+bdac+cdcb+d2⎞⎟⎟⎟⎟⎠−⎛⎜⎜⎜⎜⎝(a+d)a(a+d)b(a+d)c(a+d)d)⎞⎟⎟⎟⎟⎠+⎛⎜⎜⎜⎜⎝ad−bc00ad−bc⎞⎟⎟⎟⎟⎠ =⎛⎜⎜⎜⎜⎝0000⎞⎟⎟⎟⎟⎠=0．2． (1) 任意の2次元の列ベクトルvに対して，つねにXv=vとなる行列Xを求めよ．(2) 任意の2次の正方行列Aに対して，つねにXA=AXとなる行列Xは，kを任意の数，Iを2次の単位行列として，X=kIという形をもつことを証明せよ．[解答例](1) X=⎛⎜⎜⎜⎜⎝abcd⎞⎟⎟⎟⎟⎠とし，u=⎛⎜⎜⎜⎜⎝u1u2⎞⎟⎟⎟⎟⎠とする．
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