5.5.固有方程式と固有ベクトル75(1) ⎛⎜⎜⎜⎜⎝cos30◦−sin30◦sin30◦cos30◦⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝32⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝√32−1212√32⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝32⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝32√3−132+√3⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠．(2) ⎛⎜⎜⎜⎜⎝cos(−45◦)−sin(−45◦)sin(−45◦)cos(−45◦)⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝32⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1√21√2−1√21√2⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝32⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝√52−1√2⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠．(3) ⎛⎜⎜⎜⎜⎝cos150◦−sin150◦sin150◦cos150◦⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝32⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝−√32−1212−√32⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝32⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝−3√3−223−2√32⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠．5． つぎの関係式（1）を満たす数x，y，u，vはかならず関係式（2）を満たし，また逆に，（2）を満たす数x，y，u，vはかならず（1）を満たすとき，数a，b，c，dを求めよ．(1) ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x=au+5v，y=4u+bv. (2) ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩u=cx−5y，v=dx+3y.[解答例] ⎛⎜⎜⎜⎜⎝xy⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝a54b⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝uυ⎞⎟⎟⎟⎟⎠，⎛⎜⎜⎜⎜⎝uυ⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝c−5d3⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝xy⎞⎟⎟⎟⎟⎠ ⇔⎛⎜⎜⎜⎜⎝xy⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝a54b⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝c−5d3⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝xy⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝ac+5d−5a+154c+bd−20+3b⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝xy⎞⎟⎟⎟⎟⎠ ⇔⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x=(ac+5d)x+(−5a+15)y,y=(4c+bd)x+(−20+3b)y. これがx=0，y=1で成り立つことから−5a+15=0⇔a=3． 1=−20+3b⇔b=7． またy=0，x=1でも成立することから4c+bd=4c+7d=0．
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