72第5章固有値と固有ベクトル(2) 5x2−6xy+5y2−8√5(x−y)+16=0． まず平行移動してxとyの1次の項を消す．そのため ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x=x+a,y=y+aなる新たな座標軸x，yを考える． これをもとの式に代入してxとyの1次の項をぬき出すと (10a−6b−8√5)x，(10b−6a+8√5)y， これらの係数が0となるa，bはa=√52，b=−√52． よってx=x+√52，y=y−√52をもとの式に代入して整理すると (xy)⎛⎜⎜⎜⎜⎝5335⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝xy⎞⎟⎟⎟⎟⎠=4． A=⎛⎜⎜⎜⎜⎝5335⎞⎟⎟⎟⎟⎠を対角化する． ∣∣∣∣∣∣5−λ335−λ∣∣∣∣∣∣=0⇔(λ−8)(λ−2)=0 ∴λ=8,2．i) λ=8のとき，単位固有ベクトルは1√2⎛⎜⎜⎜⎜⎝11⎞⎟⎟⎟⎟⎠．ii) λ=2のとき，単位固有ベクトルは1√2⎛⎜⎜⎜⎜⎝−11⎞⎟⎟⎟⎟⎠． P=1√2⎛⎜⎜⎜⎜⎝1−111⎞⎟⎟⎟⎟⎠=R(π4)とおくと PTAP=⎛⎜⎜⎜⎜⎝8002⎞⎟⎟⎟⎟⎠，よって⎛⎜⎜⎜⎜⎝XY⎞⎟⎟⎟⎟⎠=R(−π4)⎛⎜⎜⎜⎜⎝xy⎞⎟⎟⎟⎟⎠とおくと ⎛⎜⎜⎜⎜⎝xy⎞⎟⎟⎟⎟⎠=R(π4)⎛⎜⎜⎜⎜⎝XY⎞⎟⎟⎟⎟⎠，(xy)=(XY)R(−π4)となり，
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