線形代数入門解答例

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5.5.固有方程式と固有ベクトル71　∣∣∣∣∣∣1−λ5√35√311−λ∣∣∣∣∣∣=0⇔λ2−12λ−64=0，　λ=16,−4．i)　λ=16のとき，固有ベクトル（単位）は(12√32)T．ii)　λ=−4のとき，固有ベクトル（単位）は(−√3212)T．　よってP=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝12−√32√3212⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠=R(π3)とすると　PTAP=R(−π3)·A·R(π3)=⎛⎜⎜⎜⎜⎝1600−4⎞⎟⎟⎟⎟⎠．　⎛⎜⎜⎜⎜⎝xy⎞⎟⎟⎟⎟⎠=R(π3)⎛⎜⎜⎜⎜⎝XY⎞⎟⎟⎟⎟⎠，すなわち⎛⎜⎜⎜⎜⎝XY⎞⎟⎟⎟⎟⎠=R(−π3)⎛⎜⎜⎜⎜⎝xy⎞⎟⎟⎟⎟⎠とおけば　(xy)A⎛⎜⎜⎜⎜⎝xy⎞⎟⎟⎟⎟⎠=8⇔(XY)⎛⎜⎜⎜⎜⎝1600−4⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝XY⎞⎟⎟⎟⎟⎠=8．　よって2X2−12Y2=1．✲x✻y✒X■YY=−2XY=2X