線形代数入門解答例

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70第5章固有値と固有ベクトル5．　楕円3x2+y2=1を正の向きにπ/6ラジアン回転して得られる楕円の方程式を(xy)⎛⎜⎜⎜⎜⎝abbc⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝xy⎞⎟⎟⎟⎟⎠=1と表わすとき，a，b，cを求めよ．[解答例]　3x2+y2=1⇔(xy)⎛⎜⎜⎜⎜⎝3001⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝xy⎞⎟⎟⎟⎟⎠=1．　⎛⎜⎜⎜⎜⎝XY⎞⎟⎟⎟⎟⎠=R(π6)⎛⎜⎜⎜⎜⎝xy⎞⎟⎟⎟⎟⎠とすると，⎛⎜⎜⎜⎜⎝xy⎞⎟⎟⎟⎟⎠=R(−π6)⎛⎜⎜⎜⎜⎝XY⎞⎟⎟⎟⎟⎠．　(xy)=⎛⎜⎜⎜⎜⎝xy⎞⎟⎟⎟⎟⎠T=(R(−π6)⎛⎜⎜⎜⎜⎝XY⎞⎟⎟⎟⎟⎠)T=⎛⎜⎜⎜⎜⎝XY⎞⎟⎟⎟⎟⎠TR(−π6)T=(XY)R(π6)．　よって　(xy)⎛⎜⎜⎜⎜⎝3001⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝xy⎞⎟⎟⎟⎟⎠=1⇔(XY)R(π6)⎛⎜⎜⎜⎜⎝3001⎞⎟⎟⎟⎟⎠R(−π6)⎛⎜⎜⎜⎜⎝XY⎞⎟⎟⎟⎟⎠=1．　⇔(XY)⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝52√32√3232⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝XY⎞⎟⎟⎟⎟⎠=1．6．　つぎの2次曲線の概形をかけ．[ヒント：（2）では平行移動も考える](1)　x2+10√3xy+11y2=8.　　(2)　5x2−6xy+5y2−8√5(x−y)+16=0.[解答例](1)　x2+10√3xy+11y2=8⇔(xy)⎛⎜⎜⎜⎜⎝15√35√311⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝xy⎞⎟⎟⎟⎟⎠=8．　A=⎛⎜⎜⎜⎜⎝15√35√311⎞⎟⎟⎟⎟⎠を対角化する．