5.5.固有方程式と固有ベクトル69[解答例] u1=⎛⎜⎜⎜⎜⎝u11u21⎞⎟⎟⎟⎟⎠，u2=⎛⎜⎜⎜⎜⎝u12u22⎞⎟⎟⎟⎟⎠とする． T=⎛⎜⎜⎜⎜⎝u11u12u21u22⎞⎟⎟⎟⎟⎠．(1) TTT=⎛⎜⎜⎜⎜⎝u11u21u12u22⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝u11u12u21u22⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝u211+u221u11u12+u21u22u11u12+u21u22u212+u222⎞⎟⎟⎟⎟⎠．よってTTT=I⇔⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩u211+u221=u212+u222=1,u11u12+u21u22=0.すなわち，∣∣∣u1∣∣∣=∣∣∣u2∣∣∣=1，uT1u2（内積）=0，ゆえにu1⊥u2．TTT=IはTTがTの逆行列であることを示す．よって（4.2）と（4.3）から∣∣∣TTT∣∣∣=∣∣∣T−1∣∣∣∣∣∣T∣∣∣=∣∣∣T∣∣∣2=1．ゆえに∣∣∣T∣∣∣=±1．(2) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣−16−λ221−λ∣∣∣∣∣∣∣∣∣=(−16−λ)(1−λ)−4=λ2−56λ−256=0⇔6λ2−5λ−25=0⇔(2λ−5)(3λ+5)=0．λ=52,−53．i) λ=52のとき⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝−16221⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝u1u2⎞⎟⎟⎟⎟⎠=52⎛⎜⎜⎜⎜⎝u1u2⎞⎟⎟⎟⎟⎠⇒⎛⎜⎜⎜⎜⎝u1u2⎞⎟⎟⎟⎟⎠=15⎛⎜⎜⎜⎜⎝34⎞⎟⎟⎟⎟⎠=u1．ii) λ=−53のとき⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝−16221⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝u1u2⎞⎟⎟⎟⎟⎠=(−53)⎛⎜⎜⎜⎜⎝u1u2⎞⎟⎟⎟⎟⎠⇒⎛⎜⎜⎜⎜⎝u1u2⎞⎟⎟⎟⎟⎠=15⎛⎜⎜⎜⎜⎝−43⎞⎟⎟⎟⎟⎠=u2．よってTとしては±u1と±u2の組み合わせだけあり，15⎛⎜⎜⎜⎜⎝3−443⎞⎟⎟⎟⎟⎠，15⎛⎜⎜⎜⎜⎝−3−4−43⎞⎟⎟⎟⎟⎠，15⎛⎜⎜⎜⎜⎝344−3⎞⎟⎟⎟⎟⎠，15⎛⎜⎜⎜⎜⎝−34−4−3⎞⎟⎟⎟⎟⎠．
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