68第5章固有値と固有ベクトル3． 対称行列B=⎛⎜⎜⎜⎜⎝abbc⎞⎟⎟⎟⎟⎠（a，b，cは実数）と回転行列R(θ)=⎛⎜⎜⎜⎜⎝cosθ−sinθsinθcosθ⎞⎟⎟⎟⎟⎠について，θを適当にとればR(−θ)BR(θ)がかならず対角行列になることを示せ．[解答例] B=⎛⎜⎜⎜⎜⎝abbc⎞⎟⎟⎟⎟⎠． ⎛⎜⎜⎜⎜⎝λ00µ⎞⎟⎟⎟⎟⎠=R(−θ)BR(θ)． R(−θ)⎛⎜⎜⎜⎜⎝abbc⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝cosθ−sinθsinθcosθ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ =⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝acos2θ+bsin2θ+csin2θbcos2θ−a−c2sin2θbcos2θ−a−c2sin2θasin2θ−bsin2θ+ccos2θ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠． これが対角ということは bcos2θ=a−c2sin2θであることが必要．i) b=0のとき．このときはBはそもそも対角．ii) b0のとき cos2θsin2θ=cot2θ=a−c2b．これを満たすθはとれる． これを満たすθをとれば対角化できる．4． TTT=Iを満たす（実）正方行列を直交行列という．Tは2次行列としよう．(1) T=(u1u2)とかけば，この条件は∣∣∣uj∣∣∣=1かつu1⊥u2と（u1とu2が直交する）同値であることをたしかめよ．また∣∣∣T∣∣∣=±1であることを示せ．(2) A=⎛⎜⎜⎜⎜⎝−1/6221⎞⎟⎟⎟⎟⎠を対角化する直交行列Tを（あれば）すべて求めよ．
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