5.5.固有方程式と固有ベクトル67 A=⎛⎜⎜⎜⎜⎝a1a2a3a4⎞⎟⎟⎟⎟⎠，B=⎛⎜⎜⎜⎜⎝b1b2b3b4⎞⎟⎟⎟⎟⎠とする． AB=⎛⎜⎜⎜⎜⎝a1b1+a2b3a1b2+a2b4a3b1+a4b3a3b2+a4b4⎞⎟⎟⎟⎟⎠． よって tr(AB)=a1b1+a2b3+a3b2+a4b4． BA=⎛⎜⎜⎜⎜⎝b1a1+b2a3b1a2+b2a4b3a1+b4a3b3a2+b4a4⎞⎟⎟⎟⎟⎠． よって tr(BA)=a1b1+b2a3+b3a2+a4b4=tr(AB)． B−1=1b1b4−b2b3⎛⎜⎜⎜⎜⎝b4−b2−b3b1⎞⎟⎟⎟⎟⎠． BAB−1=⎛⎜⎜⎜⎜⎝b1b2b3b4⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝a1a2a3a4⎞⎟⎟⎟⎟⎠·1b1b4−b2b3⎛⎜⎜⎜⎜⎝b4−b2−b3b1⎞⎟⎟⎟⎟⎠ =1b1b4−b2b3⎛⎜⎜⎜⎜⎝b1a1+b2a3b1a2+b2a4b3a1+b4a3b3a2+b4a4⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝b4−b2−b3b1⎞⎟⎟⎟⎟⎠ =1b1b4−b2b3⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝b4(b1a1+b2a3)b2(b1a1+b2a3)−b3(b1a2+b2a4)+b1(b1a2+b2a4)b4(b3a1+b4a3)−b2(b3a1+b4a3)−b3(b3a2+b4a4)+b1(b3a2+b4a4)⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠． よって tr(BAB−1)=1b1b4−b2b3(b1b4a1+b1b4a4−b2b3a4−b2b3a1) =1b1b4−b2b3(b1b4−b2b3)(a1+a4)=a1+a4=trA．
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