66第5章固有値と固有ベクトル[解答例] A=⎛⎜⎜⎜⎜⎝0121⎞⎟⎟⎟⎟⎠，∣∣∣∣∣∣−λ121−λ∣∣∣∣∣∣=−λ(1−λ)−2=λ2−λ−2=0． ⇔(λ−2)(λ+1)=0．λ=2,−1．i) λ=2のとき ⎛⎜⎜⎜⎜⎝0121⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝u1u2⎞⎟⎟⎟⎟⎠=2⎛⎜⎜⎜⎜⎝u1u2⎞⎟⎟⎟⎟⎠⇔⎛⎜⎜⎜⎜⎝u2−2u12u1−u2⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝00⎞⎟⎟⎟⎟⎠． ゆえにu2=2u1．これより固有ベクトルは1√5⎛⎜⎜⎜⎜⎝12⎞⎟⎟⎟⎟⎠．ii) λ=−1のとき ⎛⎜⎜⎜⎜⎝0121⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝u1u2⎞⎟⎟⎟⎟⎠=(−1)⎛⎜⎜⎜⎜⎝u1u2⎞⎟⎟⎟⎟⎠⇔⎛⎜⎜⎜⎜⎝u2+u12u1+2u2⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝00⎞⎟⎟⎟⎟⎠． ゆえにu2=−u1．これより固有ベクトルは1√2⎛⎜⎜⎜⎜⎝1−1⎞⎟⎟⎟⎟⎠．P=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1√51√22√5−1√2⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠とおき，P−1AP=⎛⎜⎜⎜⎜⎝200−1⎞⎟⎟⎟⎟⎠, (P−1AP)n=P−1AP·P−1AP·····P−1AP=P−1AnP, ⎛⎜⎜⎜⎜⎝200−1⎞⎟⎟⎟⎟⎠n=⎛⎜⎜⎜⎜⎝2n00(−1)n⎞⎟⎟⎟⎟⎠だから An=P⎛⎜⎜⎜⎜⎝2n00(−1)n⎞⎟⎟⎟⎟⎠P−1=13⎛⎜⎜⎜⎜⎝2n+2(−1)n2n+(−1)n+12n+1+2(−1)n+12n+1+(−1)n⎞⎟⎟⎟⎟⎠．2． A=⎛⎜⎜⎜⎜⎝abcd⎞⎟⎟⎟⎟⎠のトレースをtrA=a+dで定めた．trAB=trBA，trBAB−1=trA（|B|0のとき）を示せ．[解答例]
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