64第5章固有値と固有ベクトル5.5固有方程式と固有ベクトル問1． B=⎛⎜⎜⎜⎜⎝5−√3−√37⎞⎟⎟⎟⎟⎠の固有値と固有ベクトルを求め，Bを対角化せよ．[解答例] ∣∣∣∣∣∣5−λ−√3−√37−λ∣∣∣∣∣∣=(5−λ)(7−λ)−3=λ2−12λ+32=0 ⇔(λ−8)(λ−4)=0．ゆえにλ=8,4．i) λ=8のとき ⎛⎜⎜⎜⎜⎝5−√3−√37⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝u1u2⎞⎟⎟⎟⎟⎠=8⎛⎜⎜⎜⎜⎝u1u2⎞⎟⎟⎟⎟⎠⇔⎛⎜⎜⎜⎜⎝3u1+√3u2√3u1+u2⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝00⎞⎟⎟⎟⎟⎠ ⇒u2=−√3u1．これよりu1=12⎛⎜⎜⎜⎜⎝1−√3⎞⎟⎟⎟⎟⎠．···固有ベクトルii) λ=4のとき ⎛⎜⎜⎜⎜⎝5−√3−√37⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝u1u2⎞⎟⎟⎟⎟⎠=4⎛⎜⎜⎜⎜⎝u1u2⎞⎟⎟⎟⎟⎠⇔⎛⎜⎜⎜⎜⎝u1−√3u2−√3u1+3u2⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝00⎞⎟⎟⎟⎟⎠ ⇒u1=√3u2．これよりu2=12⎛⎜⎜⎜⎜⎝√31⎞⎟⎟⎟⎟⎠．···固有ベクトル． P=12⎛⎜⎜⎜⎜⎝1√3−√31⎞⎟⎟⎟⎟⎠とすればP−1=12⎛⎜⎜⎜⎜⎝1−√3√31⎞⎟⎟⎟⎟⎠． P−1⎛⎜⎜⎜⎜⎝5−√3−√37⎞⎟⎟⎟⎟⎠P=⎛⎜⎜⎜⎜⎝8004⎞⎟⎟⎟⎟⎠．問2． 2次曲線5x2−2√3xy+7y2=4の概形を調べよ．[解答例] 5x2−2√3xy+7y4=4⇔(xy)⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝5−√3−√37⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝xy⎞⎟⎟⎟⎟⎠=4．
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