線形代数入門解答例

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5.4.固有ベクトルと対角化635.4固有ベクトルと対角化問1．　例2のAをP=(v1v2)を用いて対角化せよ．すなわち，P−1APが対角行列となることをたしかめよ．[解答例]　v1=⎛⎜⎜⎜⎜⎝cosθsinθ⎞⎟⎟⎟⎟⎠，v2=⎛⎜⎜⎜⎜⎝−sinθcosθ⎞⎟⎟⎟⎟⎠，P=⎛⎜⎜⎜⎜⎝cosθ−sinθsinθcosθ⎞⎟⎟⎟⎟⎠．　P−1=⎛⎜⎜⎜⎜⎝cosθsinθ−sinθcosθ⎞⎟⎟⎟⎟⎠であるから　P−1AP=⎛⎜⎜⎜⎜⎝cosθsinθ−sinθcosθ⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝cos2θsin2θsin2θ−cos2θ⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝cosθ−sinθsinθcosθ⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝cosθsinθ−sinθcosθ⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝cos2θ·cosθ+sin2θ·sinθ−cos2θ·sinθ+sin2θ·cosθsin2θ·cosθ−cos2θ·sinθ−sin2θ·sinθ−cos2θ·cosθ⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝cosθsinθ−sinθcosθ⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝cosθsinθsinθ−cosθ⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝cos2θ+sin2θsinθ·cosθ−sinθ·cosθ−sinθ·cosθ+sinθ·cosθ−sin2θ−cos2θ⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝100−1⎞⎟⎟⎟⎟⎠．問2．　例3のBをP=(v1v2)を用いて対角化せよ．すなわち，P−1BPが対角行列となることをたしかめよ．[解答例]　v1=1√2⎛⎜⎜⎜⎜⎝11⎞⎟⎟⎟⎟⎠，v2=1√2⎛⎜⎜⎜⎜⎝−11⎞⎟⎟⎟⎟⎠，B=⎛⎜⎜⎜⎜⎝3−1−13⎞⎟⎟⎟⎟⎠．　P=1√2⎛⎜⎜⎜⎜⎝1−111⎞⎟⎟⎟⎟⎠，P−1=1√2⎛⎜⎜⎜⎜⎝11−11⎞⎟⎟⎟⎟⎠．　P−1BP=12⎛⎜⎜⎜⎜⎝1−111⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝3−1−13⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝11−11⎞⎟⎟⎟⎟⎠=12⎛⎜⎜⎜⎜⎝1−111⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝42−42⎞⎟⎟⎟⎟⎠=12⎛⎜⎜⎜⎜⎝8004⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝4002⎞⎟⎟⎟⎟⎠．