61第5章固有値と固有ベクトル5.1座標変換問1． つぎのベクトルの組はR2の基底か．(1)⎛⎜⎜⎜⎜⎝12⎞⎟⎟⎟⎟⎠,⎛⎜⎜⎜⎜⎝24⎞⎟⎟⎟⎟⎠. (2)⎛⎜⎜⎜⎜⎝cosθsinθ⎞⎟⎟⎟⎟⎠,⎛⎜⎜⎜⎜⎝−sinθcosθ⎞⎟⎟⎟⎟⎠.[解答例](1) 2×⎛⎜⎜⎜⎜⎝12⎞⎟⎟⎟⎟⎠+(−1)⎛⎜⎜⎜⎜⎝24⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝00⎞⎟⎟⎟⎟⎠．よって基底でない．あるいは∣∣∣∣∣∣1224∣∣∣∣∣∣=4−4=0．(2) ∣∣∣∣∣∣cosθ−sinθsinθcosθ∣∣∣∣∣∣=cos2θ+sin2θ=10． よって基底である．問2． 基底f(π3)1，f(π3)2に関するつぎの点の座標を求めよ．(1)P(1,0). (2)Q(−1,1).[解答例](1) ⎛⎜⎜⎜⎜⎝x(π3)y(π3)⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝cosπ3sinπ3−sinπ3cosπ3⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝10⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝12√32−√3212⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝10⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝12−√32⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠．(2) ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝12√32−√3212⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝−11⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝−1+√32√3+12⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠．
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