4.3.行列式が0のとき55A=⎛⎜⎜⎜⎜⎝abcd⎞⎟⎟⎟⎟⎠とする． ∣∣∣A∣∣∣0⇔ad−bc0.単射：∣∣∣A∣∣∣0とする．y=Ax=Ax′⇔A(x−x′)=0⇒x−x′=0⇔x=x′. これはfが単射であることを示す．逆に，fが単射でなければAx=Ax′なるxx′が存在する．よってA(x−x′)=0，x−x′0．定理2より∣∣∣A∣∣∣=0がわかる．全射：∣∣∣A∣∣∣0とする．任意のy∈R2をとると，∣∣∣A∣∣∣0よりA−1が存在するのでx=A−1yなるx∈R2が存在し，y=Axとなる．これはfが全射であることを示す．逆に，fが全射でなければ，y=Axなるx∈R2が存在しないy∈R2がある．∣∣∣A∣∣∣0ならA−1が存在し，先のようにyに対し，A−1y∈R2となりx=A−1yとおけばy=Ayとなる．よって∣∣∣A∣∣∣=0．問題1． A=⎛⎜⎜⎜⎜⎝1236⎞⎟⎟⎟⎟⎠とする．基本ベクトルe1，e2を2辺とする単位正方形をUとする．AによるUの像A(U):={Au|u∈U}をそれぞれ図示し，その面積を求めよ．[解答例]⎛⎜⎜⎜⎜⎝1236⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝00⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝00⎞⎟⎟⎟⎟⎠， ⎛⎜⎜⎜⎜⎝1236⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝10⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝13⎞⎟⎟⎟⎟⎠．⎛⎜⎜⎜⎜⎝1236⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝11⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝39⎞⎟⎟⎟⎟⎠， ⎛⎜⎜⎜⎜⎝1236⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝01⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝26⎞⎟⎟⎟⎟⎠．∣∣∣∣∣∣1236∣∣∣∣∣∣=6−6=0. 面積は0．
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