4.2.行列式の性質53∣∣∣∣∣∣cosθ−sinθsinθcosθ∣∣∣∣∣∣=1>0.4.2行列式の性質問1． A，Bを2次正方行列とする．乗法性∣∣∣AB∣∣∣=∣∣∣A∣∣∣∣∣∣B∣∣∣を示せ．[解答例]A=⎛⎜⎜⎜⎜⎝a1a2a3a4⎞⎟⎟⎟⎟⎠，B=⎛⎜⎜⎜⎜⎝b1b2b3b4⎞⎟⎟⎟⎟⎠とする．AB=⎛⎜⎜⎜⎜⎝a1b1+a2b3a1b2+a2b4a3b1+a4b3a3b2+a4b4⎞⎟⎟⎟⎟⎠.∣∣∣AB∣∣∣=(a1b1+a2b3)(a3b2+a4b4)−(a1b2+a2b4)(a3b1+a4b3)=a1a4b1b4+a2a3b2b3−a1a4b2b3−a2a3b1b4=(a1a4−a2a3)(b1b4−b2b3)=∣∣∣A∣∣∣·∣∣∣B∣∣∣.問2． 以下の行列について∣∣∣AB∣∣∣=∣∣∣A∣∣∣∣∣∣B∣∣∣が成り立つことを行列式を計算することにより示せ．(1)A=⎛⎜⎜⎜⎜⎝2003⎞⎟⎟⎟⎟⎠， B=⎛⎜⎜⎜⎜⎝2112⎞⎟⎟⎟⎟⎠. (2)A=⎛⎜⎜⎜⎜⎝2212⎞⎟⎟⎟⎟⎠， B=⎛⎜⎜⎜⎜⎝3452⎞⎟⎟⎟⎟⎠.[解答例](1)⎛⎜⎜⎜⎜⎝2003⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝2112⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝4236⎞⎟⎟⎟⎟⎠,∣∣∣∣∣∣4236∣∣∣∣∣∣=24−6=18.∣∣∣∣∣∣2003∣∣∣∣∣∣=6,∣∣∣∣∣∣2112∣∣∣∣∣∣=4−1=3,6×3=18.(2)⎛⎜⎜⎜⎜⎝2212⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝3452⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝6+108+43+104+4⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝1612138⎞⎟⎟⎟⎟⎠.
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