3.4.線形変換の合成と逆変換45問4．(1)原点を中心とする相似比kの相似変換の行列を求めよ．(2)(1)の行列の逆行列を求めよ．(3)(1)の線形変換の逆変換はどのような相似変換を表わすか．[解答例](1)⎛⎜⎜⎜⎜⎝kxky⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝abcd⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝xy⎞⎟⎟⎟⎟⎠⇔⎛⎜⎜⎜⎜⎝kxky⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝ax+bycx+dy⎞⎟⎟⎟⎟⎠⇔⎛⎜⎜⎜⎜⎝(k−a)x−bycx+(k−c)y⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝00⎞⎟⎟⎟⎟⎠.これが任意の(xy)Tについて成り立つためにはa=d=k，b=c=0．よって求める行列は⎛⎜⎜⎜⎜⎝k00k⎞⎟⎟⎟⎟⎠.(2)⎛⎜⎜⎜⎜⎝k00k⎞⎟⎟⎟⎟⎠−1=1k2⎛⎜⎜⎜⎜⎝k00k⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1k001k⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠(k0).(3)原点を中心とする相似比1kの相似変換．問5． 原点を中心とする角θの回転と角−θの回転の行列をそれぞれ求め，その一方が他方の逆行列となっていることをたしかめよ．[解答例]R(θ)=⎛⎜⎜⎜⎜⎝cosθ−sinθsinθcosθ⎞⎟⎟⎟⎟⎠.R(−θ)=⎛⎜⎜⎜⎜⎝cosθsinθ−sinθcosθ⎞⎟⎟⎟⎟⎠.R(θ)·R(−θ)=⎛⎜⎜⎜⎜⎝cosθ−sinθsinθcosθ⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝cosθsinθ−sinθcosθ⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝cos2θ+sin2θsinθcosθ−sinθcosθsinθcosθ−cosθsinθsin2θ+cos2θ⎞⎟⎟⎟⎟⎠
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