3.4.線形変換の合成と逆変換43自身にうつす直線をy=mx+nとする．⎛⎜⎜⎜⎜⎝1−123⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝xy⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝x−y2x+3y⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝x−(mx+n)2x+3(mx+n)⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝(1−m)x−n(2+3m)x+3n⎞⎟⎟⎟⎟⎠.この点がやはり同直線上にあるためには(2+3m)x+3n=m((1−m)x−n)+n⇔(m2+2m+2)x+mn+2n=0.これがすべてのxで成立するためにはm2+2m+2=0かつmn+2n=0.ところがm2+2m+2=0の判別式=4−8=−4<0であるから実数の解はない．よって自分自身にうつす直線は存在しない．3.4線形変換の合成と逆変換線形変換の合成問1． 線形変換f，gの行列が，それぞれ⎛⎜⎜⎜⎜⎝120−1⎞⎟⎟⎟⎟⎠， ⎛⎜⎜⎜⎜⎝301−1⎞⎟⎟⎟⎟⎠であるとき，合成変換g◦fおよびf◦gの行列を求めよ．[解答例]g◦f：⎛⎜⎜⎜⎜⎝301−1⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝120−1⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝3+06+01+02+1⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝3613⎞⎟⎟⎟⎟⎠.
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