38第3章線形変換点(1,2)にうつされる点を(x,y)とすると,⎛⎜⎜⎜⎜⎝2142⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝xy⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝12⎞⎟⎟⎟⎟⎠⇔⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩2x+y=1,4x+2y=2.⇔2x+y=1.すなわち,(x,y)は直線2x+y=1上にある.逆に2x+y=1上の任意の点を(x′,y′)とする.点(x′,y′)はfのもとで⎛⎜⎜⎜⎜⎝2142⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝x′y′⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝2x′+y′4x′+2y′⎞⎟⎟⎟⎟⎠にうつされる.点(x′,y′)は直線2x+y=1上の点なので2x′+y′=1を満たす.よって⎛⎜⎜⎜⎜⎝2x′+y′4x′+2y′⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝21⎞⎟⎟⎟⎟⎠.問3. 線形変換fのもとで2つのことなる点AとBがそれぞれことなる点A′とB′にうつされるならば,線分ABはどんな図形にうつされるか.[解答例]点A,Bの位置ベクトルをそれぞれa,bとする.線分AB上の任意の点Pの位置ベクトルをpとするとp=a+t(b−a),0≤t≤1である.fの線形性よりf(p)=f(a)+t(f(b)−f(a)),0≤t≤1.f(a),f(b)はそれぞれA′,B′の位置ベクトルなのでf(p)は線分A′B′上の点となる.問4. 上の主張を証明せよ.[解答例]
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