30第2章逆行列と連立1次方程式5． 2次の正方行列A，Bがどちらも逆行列をもつとき，行列B−1A−1が行列ABの逆行列であること，すなわちB−1A−1=(AB)−1を証明せよ．また，(AB)−1=A−1B−1が，一般には成り立たないことを示せ．[解答例]B−1A−1(AB)=B−1(A−1A)B=B−1IB=B−1B=I.同様に(AB)B−1A−1=I. ただしIは単位行列．A=⎛⎜⎜⎜⎜⎝1101⎞⎟⎟⎟⎟⎠，B=⎛⎜⎜⎜⎜⎝1011⎞⎟⎟⎟⎟⎠とするとAB=⎛⎜⎜⎜⎜⎝2111⎞⎟⎟⎟⎟⎠，(AB)−1=⎛⎜⎜⎜⎜⎝1−1−12⎞⎟⎟⎟⎟⎠.一方A−1=⎛⎜⎜⎜⎜⎝1−101⎞⎟⎟⎟⎟⎠，B−1=⎛⎜⎜⎜⎜⎝10−11⎞⎟⎟⎟⎟⎠，A−1B−1=⎛⎜⎜⎜⎜⎝2−1−11⎞⎟⎟⎟⎟⎠.よって(AB)−1A−1B−1.
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