10第1章行列を証明せよ．[解答例]A=⎛⎜⎜⎜⎜⎝a11a12a21a22⎞⎟⎟⎟⎟⎠,B=⎛⎜⎜⎜⎜⎝b11b12b21b22⎞⎟⎟⎟⎟⎠,C=⎛⎜⎜⎜⎜⎝c11c12c21c22⎞⎟⎟⎟⎟⎠,AB=⎛⎜⎜⎜⎜⎝a11b11+a12b21a11b12+a12b22a21b11+a22b21a21b12+a22b22⎞⎟⎟⎟⎟⎠,AC=⎛⎜⎜⎜⎜⎝a11c11+a12c21a11c12+a12c22a21c11+a22c21a21c12+a22c22⎞⎟⎟⎟⎟⎠.AB−ACの(1,1)成分はa11b11+a12b21−(a11c11+a12c21)，これはa11(b11−c11)+a12(b21−c21)である．これはA(B−C)の(1,1)成分．ほかの成分についても同様．問2． A，B，Cを2×2型の行列とし，(AB)C=A(BC)を証明せよ．[解答例]A，B，Cを問1の行列とする．問1の解答から(AB)C=⎛⎜⎜⎜⎜⎝a11b11+a12b21a11b12+a12b22a21b11+a22b21a21b12+a22b22⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝c11c12c21c22⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝(a11b11+a12b21)c11+(a11b12+a12b22)c21·········⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝a11(b11c11+b12c21)+a12(b21c11+b22c22)·········⎞⎟⎟⎟⎟⎠.この(1,1)成分はA(BC)の(1,1)成分に等しい．ほかの成分も同様に等しいことを示せる．問3． A=⎛⎜⎜⎜⎜⎝2113⎞⎟⎟⎟⎟⎠， B=⎛⎜⎜⎜⎜⎝34−12⎞⎟⎟⎟⎟⎠， C=⎛⎜⎜⎜⎜⎝12−2−1⎞⎟⎟⎟⎟⎠のとき，つぎの式をなるべく簡単な方法で計算せよ．(1)AC+BC. (2)AB−AC. (3)ABAB.
元のページ ../index.html#10