98付録C ジョルダン標準形以下ではこれをもとに，pAが重根をもつときを考える．λ，µをpA(t)=0の解（pAの根）とすればpA(t)=(t−λ)(t−µ)(C.2)であり，（C.1）はつぎのようにもかける．(A−λI)(A−µI)=O.(C.3)よって重根の場合は(A−λI)2=O(C.4)が成り立つ．いまA−λI=OならAははじめからスカラー行列（単位行列のスカラー倍）だから，A−λIOとしよう．いま，A−λI=(υ1υ2)というようにA−λIを列ベクトルυ1とυ2とで表現してみるとυ1またはυ2はAの固有ベクトルになる．なぜならば，（C.4）より，(A−λI)(υ1υ2)=Oとなるからである．ここで∣∣∣A−λI∣∣∣=0であるから第4.3節定理4.3より，あるυ0が存在してυ1=sυ，υ2=tυとかけることがわかり，A−λI=(sυtυ)となる．よってどんなwも，A−λIでうつすとυの何倍かとなる．すなわち(A−λI)w=aυ.実際w=⎛⎜⎜⎜⎜⎝xy⎞⎟⎟⎟⎟⎠とすると，(A−λI)w=(sυtt)⎛⎜⎜⎜⎜⎝xy⎞⎟⎟⎟⎟⎠=(sx+ty)υ=aυ,a=sx+ty，となる．すべてのwに対してa=0なら，A−λI=Oとなるのでa0としてよく，wをaでわったものをあらためてwとすれば(A−λI)w=υ(C.5)としてよい．このときkυ+lw=0となる数k，lが存在するなら，この式の両辺をA−λI倍してl(A−λI)w(=lυ)=0. （(A−λI)υ=0に注意）よってl=0，k=0，つまりυとwは基底をなし，∣∣∣υw∣∣∣0である．結局，υ，w(∣∣∣υw∣∣∣0)が(A−λI)w=υ,(A−λI)υ=0Allrightsreserved,OkadomeLab.
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