97付録C ジョルダン標準形C.1 ジョルダンの標準形第5章でみたように，Aの固有方程式∣∣∣A−tI∣∣∣=0がことなる根t=λ，µをもてば，それぞれを固有値とする固有ベクトルが存在して基底となり，Aは対角化可能である．では，重根λ=µのときはどうだろうか．本節では固有値λが重根のときを議論する．まず，固有値λの固有ベクトルで方向がことなるwとυがある場合には，A(υw)=(λυλw)=λ(υw) かつ ∣∣∣υw∣∣∣0となる．この式の両辺に左から(υw)−1をかけるとA=λIとなる．つまりAはスカラー行列（単位行列のスカラーλ倍）で，はじめから対角型である．つぎに，行列Aの固有値λのことなる方向の2つの固有ベクトルはない場合を考察しよう．行列A=⎛⎜⎜⎜⎜⎝abcd⎞⎟⎟⎟⎟⎠の固有方程式の左辺をpAとかく．pA(t)=t2−(a+d)t+(ad−bc).このtの2次式を2次正方行列Aの特性多項式とよぶ．このpA(t)のtにAを代入すると零（ゼロ）行列になることは直接計算でたしかめることができる．ただし，tにAを代入した場合，pAの最後の項ad−bcには単位行列Iがかかっていると考える．すなわち，定理C.1．（ケーリーハミルトンの定理） Aを2次正方行列⎛⎜⎜⎜⎜⎝abcd⎞⎟⎟⎟⎟⎠とする．このときpA(A)=A2−(a+d)A+(ad−bc)I=O.(C.1)
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