付録B 行列の演算と群95例3． 2×2型の行列のうち，逆行列をもつもの全体からなる集合をGとすると，このGは行列の乗法について群をなす．なんとなれば，（1）A∈G，B∈GならばA−1，B−1が存在し，第2章問題5によりB−1A−1がABの逆行列となるから，AB∈Gである．（2）行列の乗法では，一般に，結合法則が成り立つ．（3）2×2型の単位行列Iの逆行列はI自身であるから，I∈Gであり，任意のGの要素Aに対してIA=AI=A.（4）A∈GならばA−1は2×2型の行列であって，その逆行列Aをもつから，A−1∈Gである．例4． つぎの4つの2×2型の行列からなる集合⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎛⎜⎜⎜⎜⎝1001⎞⎟⎟⎟⎟⎠,⎛⎜⎜⎜⎜⎝0−110⎞⎟⎟⎟⎟⎠,⎛⎜⎜⎜⎜⎝−100−1⎞⎟⎟⎟⎟⎠,⎛⎜⎜⎜⎜⎝01−10⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭が行列の乗法について群をなす．このことは，この4つの行列が左から順に，原点のまわりの0◦,90◦,180◦,270◦の回転を表わす線形変換の行列であることを考えれば，例2から明らかであろう．問1． 例4の群の単位元と，4つの要素それぞれの逆元をいえ．問2． つぎの2つの行列の集合が乗法について群をなすことをたしかめよ．⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎛⎜⎜⎜⎜⎝100−1⎞⎟⎟⎟⎟⎠,⎛⎜⎜⎜⎜⎝1001⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭.Allrightsreserved,OkadomeLab.
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