84第5章固有値と固有ベクトル定理5.4． 2次正方行列Aは，1.固有方程式が重根をもたなければかならず対角化できる．2.固有値λが重根で，λに方向のことなる2つの固有ベクトルがあればAはそもそも対角行列である．3.固有値λが重根で，方向がことなる2つの固有ベクトルが存在しなければ，Aは対角化できないが，ジョルダン標準形に変換することができる．問題1． A=⎛⎜⎜⎜⎜⎝0121⎞⎟⎟⎟⎟⎠を対角化せよ．またAnを求めよ．2． A=⎛⎜⎜⎜⎜⎝abcd⎞⎟⎟⎟⎟⎠のトレースをtrA=a+dで定めた．trAB=trBA，trBAB−1=trA（|B|0のとき）を示せ．3． 対称行列B=⎛⎜⎜⎜⎜⎝abbc⎞⎟⎟⎟⎟⎠（a，b，cは実数）と回転行列R(θ)=⎛⎜⎜⎜⎜⎝cosθ−sinθsinθcosθ⎞⎟⎟⎟⎟⎠について，θを適当にとればR(−θ)BR(θ)がかならず対角行列になることを示せ．4． TTT=Iを満たす（実）正方行列を直交行列という．Tは2次行列としよう．（1） T=(u1u2)とかけば，この条件は∣∣∣uj∣∣∣=1かつu1⊥u2と（u1とu2が直交する）同値であることをたしかめよ．また∣∣∣T∣∣∣=±1であることを示せ．（2） A=⎛⎜⎜⎜⎜⎝−1/6221⎞⎟⎟⎟⎟⎠を対角化する直交行列Tを（あれば）すべて求めよ．Allrightsreserved,OkadomeLab.
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