第5章固有値と固有ベクトル81なわち，⎛⎜⎜⎜⎜⎝a−λbcd−λ⎞⎟⎟⎟⎟⎠=(a−λ)(d−λ)−bc=λ2−(a+d)λ+(ad−bc)=0.(5.21)これが固有値λが満たすべき方程式で，Aの固有方程式とよぶ．なお，（5.21）における−λの係数a+dをAのトレースとよび，trAとかく．複素数の範囲で考えれば，方程式（5.21）はかならず解λをもつ．これが固有値の候補だが，行列式0の行列はかならずある方向υ0を「消し」⎛⎜⎜⎜⎜⎝a−λbcd−λ⎞⎟⎟⎟⎟⎠υ=0となる（第4.3節定理4.3参照）．これはAυ=λυにほかならない．つまり固有方程式の1つの解から，固有値と固有ベクトルが1つ（1方向）得られる．2次方程式（5.21）の2解をλ，µとし，λµとすれば，それぞれから固有ベクトルυ，wができる．（5.18）の要領でAを対角化するには∣∣∣υw∣∣∣=det(υw)0かどうかが問題だが，λµならば自動的に正しい．すなわち，定理5.2． 2次行列Aの固有ベクトルυ，w(0)について，これらの固有値λ，µがことなれば∣∣∣υw∣∣∣0である．証明． 問題の行列式が0とする．するとυ，wは平行で（第4.3節定理4.3），ある数aがあってaυ=w．この式にAをかけるとλaυ=µwとなる．aυ=w0なのでλ=µとなり，仮定に反する．証明終わり．したがってつぎの定理を得る．定理5.3． 2次正方行列は，固有方程式が重根をもたないかぎりかならず対角化できる．Allrightsreserved,OkadomeLab.
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