70第5章固有値と固有ベクトル（5.1）の形の和を，ベクトルυ1とυ2の線形結合または1次結合とよぶ．また，座標系を定める資格のあるベクトルの組υ1，υ2を基底とよぶ．すなわち定義． 2つの2成分実ベクトルυ1，υ2がR2の基底をなすとは，すべてのベクトルがυ1，υ2の線形結合（5.1）で1とおりにかけることをいう．基底のこの定義は，s，tを実数としたとき，sυ1+tυ2=0 なら s=t=0(5.2)が成り立つことと同値である．なぜなら，υ1とυ2が基底のとき，もしs0とすると，υ1=−(ts)υ2となりυ1とυ2が平行，あるいは零（ゼロ）ベクトルとなり，υ1と平行なベクトルか零ベクトルしか表現できず，υ1，υ2が基底であることに矛盾する．t0のときも同様である．逆に，（5.2）が成り立つとする．このとき，あるベクトルυがυ=s1υ1+t2υ2=s′1υ1+t′υ2と2とおりにかけたとすると，(s1−s′1)υ1+(t1−t′2)υ2=0となるので（5.2）よりs1=s′1，t1=t′2となり，結局υは1とおりにかけている．また∣∣∣υ1υ2∣∣∣=0なるときはυ1とυ2が平行なのでυ1とυ2は基底ではない．逆に，∣∣∣υ1υ2∣∣∣0としよう．このとき第4.3節定理4.3において，A=(υ1υ2)とし，u=⎛⎜⎜⎜⎜⎝st⎞⎟⎟⎟⎟⎠とすれば（5.2）が成り立つことがわかる．よって，υ1とυ2が基底をなすことは∣∣∣υ1υ2∣∣∣0と同値である．まとめると，定理5.1． υ1，υ2を2成分実ベクトルとする．1.υ1，υ2がR2の基底であるのは，s，tを実数としたとき，sυ1+tυ2=0ならs=t=0が成り立つときかつそのときにかぎる．2.υ1，υ2がR2の基底であるのは，∣∣∣υ1υ2∣∣∣0となるときかつそのときにかぎる．注． υ1，υ2の線形結合で任意のベクトルを表わすとき，表わしかたが1とおりでないと，点の座標が1とおりでなくなるという問題が生じる．つまり「υ=sυ1+tυ2=s′υ1+t′υ2 ならば s=s′， t=t′」が成Allrightsreserved,OkadomeLab.
元のページ ../index.html#70