第4章行列式65（1）A=⎛⎜⎜⎜⎜⎝2003⎞⎟⎟⎟⎟⎠， B=⎛⎜⎜⎜⎜⎝2112⎞⎟⎟⎟⎟⎠． （2）A=⎛⎜⎜⎜⎜⎝2212⎞⎟⎟⎟⎟⎠， B=⎛⎜⎜⎜⎜⎝3452⎞⎟⎟⎟⎟⎠．問3． 以下の行列について，∣∣∣A−1∣∣∣=∣∣∣A∣∣∣−1が成り立つことを逆行列と行列式を計算することにより示せ．（1）A=⎛⎜⎜⎜⎜⎝2111⎞⎟⎟⎟⎟⎠． （2）A=⎛⎜⎜⎜⎜⎝3122⎞⎟⎟⎟⎟⎠．4.3行列式が0のとき行列式が0のとき逆行列はない．行列式が0でないとき，行列Aの逆行列は，連立方程式Aυ=wの解υをあたえる．すなわちυ=A−1wである．解υが各wについて1つに定まるためには，ことなる点υ，υ′が，ことなる点w，w′にうつる必要がある．おなじwにうつると，wはυからきたともυ′からきたともいえて，解υが1つにきまらないからである．したがって行列式＝面積比が0だと，平面がつぶれて逆行列が存在しなくなる．すなわち，（1）まず行列A=OのときAは平面全体を原点にうつす．そのため逆写像がつくれない．（2）A=⎛⎜⎜⎜⎜⎝abcd⎞⎟⎟⎟⎟⎠Oで行列式が0のときは，ad=bcより，たとえばa0のとき，b=kaとするとd=kcで，A=⎛⎜⎜⎜⎜⎝akackc⎞⎟⎟⎟⎟⎠となる．するとu=⎛⎜⎜⎜⎜⎝k−1⎞⎟⎟⎟⎟⎠0はすべてのkに対してAu=0と1点にうつされる．そのため，点υをとおる直線υ+tu（tは実数）はAにより，A(υ+tu)=Aυ+tAu=Aυと1点Aυにつぶれる．そのため逆写像はつくれない．また，υが平面全体を動いても，Aυの全体は方向ベクトルが⎛⎜⎜⎜⎜⎝ac⎞⎟⎟⎟⎟⎠の原点をとおる直線にしかならない（図4.4）．なぜならu=⎛⎜⎜⎜⎜⎝uxuy⎞⎟⎟⎟⎟⎠とするとAu=⎛⎜⎜⎜⎜⎝akacka⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝uxuy⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝aux+kauycux+kcuy⎞⎟⎟⎟⎟⎠=(ux+kuy)⎛⎜⎜⎜⎜⎝ac⎞⎟⎟⎟⎟⎠となるからである．この直線の上の点wに対してのみAυ=wの解υがυ+tuのtの分だけ無数にある．Allrightsreserved,OkadomeLab.
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