64第4章行列式4.2行列式の性質行列式の重要な性質としてつぎの乗法性がある．det(AB)=det(A)det(B),(4.2)ここでA，Bは任意の2次正方行列である．この公式は，行列の積と行列式の定義から直接たしかめることができる．行列式の絶対値は面積比という定理によれば，乗法性は「線形変換による面積比がAでk倍，Bでh倍なら，積ABではkh倍」ということを意味する．符号についても，（4.2）によれば「積の行列式の符号がそれぞれの行列式の符号の積」だが，これも「紙を二度裏返すともとどおり」ということである．さらに（4.2）でB=A−1のときを考えれば，det(AB)=detI=1なのでdet(A)det(A−1)=1.∴det(A−1)=(det(A))−1(4.3)が成立する．すなわち∣∣∣A−1∣∣∣=∣∣∣A∣∣∣−1である．例． k倍を表わすスカラー行列kIについて，行列式はk2である．逆行列はk0なら存在し，その行列式は∣∣∣k−1I∣∣∣=k−2である．等式（4.2）と（4.3）は2次正方行列にかぎらず，3次，4次，...といった一般の正方行列でも成立し，さまざまな場合で用いられる．その重要性に鑑みて定理としてまとめておこう．定理4.2． A，Bを正方行列とする．このとき以下が成り立つ．1.det(AB)=det(A)det(B)，すなわち∣∣∣AB∣∣∣=∣∣∣A∣∣∣∣∣∣B∣∣∣．2.det(A−1)=(det(A))−1，すなわち∣∣∣A−1∣∣∣=∣∣∣A∣∣∣−1．問1． A，Bを2次正方行列とする．乗法性∣∣∣AB∣∣∣=∣∣∣A∣∣∣∣∣∣B∣∣∣を示せ．問2． 以下の行列について∣∣∣AB∣∣∣=∣∣∣A∣∣∣∣∣∣B∣∣∣が成り立つことを行列式を計算することにより示せ．Allrightsreserved,OkadomeLab.
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