60第4章行列式4.1行列式の意味行列式の幾何的な意味を考えよう．ここでは数はすべて実数とする．2つのベクトルυ1=⎛⎜⎜⎜⎜⎝ac⎞⎟⎟⎟⎟⎠とυ2=⎛⎜⎜⎜⎜⎝bd⎞⎟⎟⎟⎟⎠をならべてできる行列A=(υ1υ2)=⎛⎜⎜⎜⎜⎝abcd⎞⎟⎟⎟⎟⎠が定める平面の1次変換をf:υ↦→Aυとする．第3.1節で示したように，υ1=Ae1，υ2=Ae2である．ただし，e1=⎛⎜⎜⎜⎜⎝10⎞⎟⎟⎟⎟⎠，e2=⎛⎜⎜⎜⎜⎝01⎞⎟⎟⎟⎟⎠である．いま，e1，e2を2辺とする単位正方形の周と内部からなるUを考えると，その面積は1である．この正方形Uのfによるうつり先（像）とその面積を求めよう．Uのfによる像をf(U)とかく．集合の記号を用いればf(U)={f(υ)∣∣∣υ∈U}={Aυ∣∣∣υ∈U}である．dを方向ベクトルとし，tを実数としたとき，行列Aで表現される線形変換による，直線υ+tdの像はAυ+tAdとなる．これはAdが零（ゼロ）ベクトル0でないかぎり直線を表わす．この線形変換により，υがちがうだけの平行な2直線υ+td，υ′+tdは，それぞれAυ+tAd，Aυ′+tAdという平行な2直線にうつされる．単位正方形Uについても，辺の方向ベクトルe1の像Ae1=υ1とAe2=υ2が一直線上になければ，Uの2組の対辺は2組の平行な線分にうつる．したがってこのとき，f(U)は平行四辺形の周と内部となる（図4.1）．✲✻✻✲Oe11xe21yUA−−−−−−→✲✻✍✶Ocdybυ2axυ1a−cbdlf(U)⋆⋆図4.1． A=(υ1υ2)で表現される線形変換による図形の像．Allrightsreserved,OkadomeLab.
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