第3章線形変換53問8． 以下で表現される線形変換のもとで，不動（動かない）である点を示せ．また，自分自身を自分自身にうつす直線はあるか．ある場合はそれらを示せ．（1）⎛⎜⎜⎜⎜⎝2123⎞⎟⎟⎟⎟⎠． （2）⎛⎜⎜⎜⎜⎝5−63−4⎞⎟⎟⎟⎟⎠． （3）⎛⎜⎜⎜⎜⎝1−123⎞⎟⎟⎟⎟⎠．例題3． 双曲線x2−y2=2を原点まわりに45◦回転させた曲線の方程式を示せ．[解] 点P(x,y)を原点まわりに45◦回転させた点をP′(x′,y′)とすると，第3.1節の例3より，⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩x′=xcosπ4−ysinπ4=1√2(x−y),y′=xsinπ4+ycosπ4=1√2(x+y)である．この2つの式をx,yに関する連立方程式とみたててx,yについてとくと，⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩x=12(√2x′−√2y′)=1√2(x′+y′),y=12(−√2x′+√2y′)=1√2(−x′+y′)を得る．よって，点P(x,y)が双曲線x2−y2=2上にあるという条件をx′とy′によって表わすと，12(x′+y′)2−12(−x′+y′)2=2となる．これを簡単化するとx′y′=1，すなわち，xy=1となり，これが求める曲線の方程式である．3.4線形変換の合成と逆変換線形変換の合成Allrightsreserved,OkadomeLab.
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