第3章線形変換473.3線形変換による図形の移動線形変換fの行列をAとし，任意の点(x,y)のfのもとでの像を点(x′,y′)とする．すなわち，⎛⎜⎜⎜⎜⎝x′y′⎞⎟⎟⎟⎟⎠=A⎛⎜⎜⎜⎜⎝xy⎞⎟⎟⎟⎟⎠.(3.1)行列Aが逆行列A−1をもてば，（3.1）の両辺に左からA−1をかけて，両辺をいれかえると⎛⎜⎜⎜⎜⎝xy⎞⎟⎟⎟⎟⎠=A−1⎛⎜⎜⎜⎜⎝x′y′⎞⎟⎟⎟⎟⎠(3.2)となる．等式（3.1）と（3.2）は等価である．それゆえ，平面上のどの点(x,y)もただ1つの点(x′,y′)の像である．この事実を一般化するとつぎの定理を得る．定理3.3． 線形変換fの行列が逆行列をもてば，fのもとで，平面全体が平面全体にうつされ，ことなる2点はことなる2点にうつされる．問1． 線形変換の行列が⎛⎜⎜⎜⎜⎝1234⎞⎟⎟⎟⎟⎠である線形変換のもとで点(7,5)へうつされる点をみつけよ．次章「行列式」で詳しく述べるが，線形変換fの行列が逆行列をもたない場合は，その行列が零（ゼロ）行列でなければ，fのもとで平面全体は原点をとおる1本の直線上にうつされる．例1． 線形変換fの行列を⎛⎜⎜⎜⎜⎝2142⎞⎟⎟⎟⎟⎠とする．この行列には逆行列が存在しない．このfのもとで点(x,y)は，点(x′,y′)にうつされるとすると⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x′=2x+y，y′=4x+2yである．それゆえ，y′=2x′が成り立つ．このことから，fのもとで，平面全体は直線y=2xにうつされることがわかる（図3.9）．Allrightsreserved,OkadomeLab.
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