線形代数入門

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26第2章逆行列と連立1次方程式Aの逆行列が存在すると仮定して，⎛⎜⎜⎜⎜⎝xuyv⎞⎟⎟⎟⎟⎠とおけば⎛⎜⎜⎜⎜⎝abcd⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝xuyv⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝xuyv⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝abcd⎞⎟⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎜⎝1001⎞⎟⎟⎟⎟⎠(2.1)であるから，（2.1）の両端の行列が等しいことを用いて⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ax+by=1,[1]cx+dy=0,[2]⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩au+bv=0,[3]cu+dv=1[4]が得られる．[1]×d−[2]×bより(ad−bc)x=d,[5][2]×a−[1]×cより(ad−bc)y=−c,[6][3]×d−[4]×bより(ad−bc)u=−b,[7][4]×a−[3]×cより(ad−bc)v=a.[8]（i）　ad−bc0のときx=dad−bc，　y=−cad−bc，u=−bad−bc，　v=aad−bc．ゆえに⎛⎜⎜⎜⎜⎝xuyv⎞⎟⎟⎟⎟⎠=1ad−bc⎛⎜⎜⎜⎜⎝d−b−ca⎞⎟⎟⎟⎟⎠.(2.2)（2.2）が（2.1）を満たすことは容易にたしかめられる．したがって，（2.2）は行列Aの逆行列である．（ii）　ad−bc=0のときAllrightsreserved,OkadomeLab.