100付録C ジョルダン標準形数分解した（C.2）の形でとらえると納得しやすい．以下ではこれを説明しよう．まずA=⎛⎜⎜⎜⎜⎝λ00µ⎞⎟⎟⎟⎟⎠（対角行列）のときを考える．PA(t)=(t−λ)(t−µ)でありpA(A)=(⎛⎜⎜⎜⎜⎝λ00µ⎞⎟⎟⎟⎟⎠−λI)(⎛⎜⎜⎜⎜⎝λ00µ⎞⎟⎟⎟⎟⎠−µI)であるが，この積がOになるのは明らかである．すなわち，pA(A)=⎛⎜⎜⎜⎜⎝000µ−λ⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝λ−µ000⎞⎟⎟⎟⎟⎠=O．(C.7)Aが対角行列でないときもΛ=P−1AP=⎛⎜⎜⎜⎜⎝λ00µ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ と対角化できれば，やはり同様である．実際I=PIP−1， A=PΛP−1， A2=PΛ2P−1を使えばpA(A)=pA(PΛP−1)=PpA(Λ)P−1.(C.8)そして下の補題で示すようにpA(t)=pΛ(t)なので，対角行列のときのpΛ(Λ)=Oより，この場合にもpA(A)=Oとなる．座標をとりかえ対角化すれば「当たり前」の（C.7）を，対角化する前の行列でかいたのが（C.1）である．補題． A=PΛP−1ならばpA=pΛ．つまり固有方程式は座標系によらない．証明． A=PΛP−1よりA−tI=PΛP−1−tI=P(Λ−tI)P−1とかきなおせるので，行列式の乗法性を用いればpA(t)=∣∣∣A−tI∣∣∣=∣∣∣P(Λ−tI)P−1∣∣∣=∣∣∣P∣∣∣·∣∣∣Λ−tI∣∣∣·∣∣∣P−1∣∣∣=∣∣∣Λ−tI∣∣∣=pΛ(t).Allrightsreserved,OkadomeLab.
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